证明：1+(1/2)^1.5+(1/3)^1.5+……+(1/n)^1.5<3

先证明(1/n)^1.5<2/√(n-1)-2/√n（n>1)
<=>√(n-1)/n<2[√n-√(n-1)]两边乘以[√n+√(n-1)]
<=>[√n+√(n-1)]√(n-1)<2n
<=>√n*√(n-1)<n+1
上式显然成立
故1+(1/2)^1.5+(1/3)^1.5+……+(1/n)^1.5
<1+2(1/1-1/√2)+2(1/√2-1/√3)+...+2/√(n-1)-2/√n=1+2(1-/√n)<3
原命题得证

我认为此题应该用数学归纳法证明...
证明：1+(1/2)^1.5+(1/3)^1.5+……+(1/n)^1.5<3
证明:欲证1+(1/2)^1.5+(1/3)^1.5+……+(1/n)^1.5<3
只需证明(1/2)^1.5+(1/3)^1.5+……+(1/n)^1.5<2 即可
然后利用数学归纳法进行证明.
进行数学归纳法的时候正面受阻
因为从k到k+1项右边常量不变,左边常量变大.这样,无法使用归 纳假设.
当联想到2-1/n的极限.当n→∝时,极限为2,且n=1时,左边=右边.不妨把结论强化
然后在用数学归纳法就比较容易了...

∑(1/n)^k<1+1/(k-1)
思路：
1、 1/n = (1/n)*((n+1)-n) = ∫(1/n)*dx (x从n->n+1)
2、 所以∑(1/n)^k< ∫(1/n)^k*dx= 1+1/(k-1) (k>1，x从1->+∞)

如果你学过积分，以下是答案： 可惜积分式子拷贝不上来,应该是它小于一个从1 到正无穷的等于2的广义积分,被积函数是分子为1,分母为x的3/2次方.